线性回归

1.线性回归的从零开始实现

1.1 构造数据集

以参数w=[2,−3.4]⊤、b=4.2和噪声项ϵ生成数据集。

标签：y=Xw+b+ϵ

torch.normal()：生成一个服从正态分布的随机张量。

torch.matmul：计算两个张量矩阵相乘（可以用利用广播机制进行不同维度的相乘操作）。

1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
def synthetic_data(w, b, num_examples):  
    """生成 y = Xw + b + 噪声。"""
    X = torch.normal(0, 1, (num_examples, len(w)))
    #torch.normal()生成一个服从正态分布（均值为0，标准差为1）的随机张量X，大小为(num_examples, len(w))
    #其中num_examples是样本数量，len(w)是特征数量。
    y = torch.matmul(X, w) + b
    #函数通过矩阵乘法计算目标变量y。y是由X和w之间的线性关系构造的，并且加上了偏差项b。
    y += torch.normal(0, 0.01, y.shape)
    #函数为目标变量y添加了一个服从正态分布（均值为0，标准差为0.01）的随机噪声，以模拟真实数据中的噪声。
    return X, y.reshape((-1, 1))

true_w = torch.tensor([2, -3.4])
true_b = 4.2
features, labels = synthetic_data(true_w, true_b, 1000)

1.2 观察特征的相关性

将features张量中第二列的数据作为x轴，labels张量的数据作为y轴，绘制出散点图，散点图的每个点的大小为1。

1
2
d2l.plt.scatter(features[:,1].detach().numpy(),
                labels.detach().numpy(), 1);#detach()函数用于从计算图中分离出这部分数据，以防止在绘制图形时产生梯度计算

img

1.3 构造一个PyTorch数据迭代器

1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
def data_iter(batch_size, features, labels):#接收批量大小、特征矩阵和标签向量作为输入
    num_examples = len(features)#计算了特征数据的样本数量。
    indices = list(range(num_examples))#创建一个索引列表。
    random.shuffle(indices)# 将样本索引列表打乱，目的是随机化样本的顺序，这样在每个迭代周期中会使用不同的样本顺序，有助于训练模型的泛化能力。
    for i in range(0, num_examples, batch_size):#循环开始，每次增加batch_size个步长进行迭代，直到遍历完所有样本。
        batch_indices = torch.tensor(indices[i:min(i +
                                                   batch_size, num_examples)])
                #从打乱后的索引列表中选择一个批次的索引。
                #注意，最后一个批次可能不足batch_size，因此使用min(i + batch_size, num_examples)来确保不超出数据集的边界。
        yield features[batch_indices], labels[batch_indices]
  
batch_size = 10
for X, y in data_iter(batch_size, features, labels):
    print(X, '\n', y)
    break

out:
tensor([[ 0.9374, -0.1930],
        [ 0.1325, -1.0253],
        [ 0.9573,  0.4727],
        [-0.3795,  0.4407],
        [-0.4063,  1.0375],
        [ 0.7656, -1.9743],
        [ 1.4891,  1.4386],
        [-0.9692, -0.4879],
        [ 2.5848,  1.3103],
        [-0.5822,  0.5608]]) 
 tensor([[ 6.7309],
        [ 7.9584],
        [ 4.4986],
        [ 1.9576],
        [-0.1413],
        [12.4321],
        [ 2.2723],
        [ 3.9170],
        [ 4.9298],
        [ 1.1197]])

1.4 初始化模型参数

1
2
3
w = torch.normal(0, 0.01, size=(2, 1), requires_grad=True)
b = torch.zeros(1, requires_grad=True)
#requires_grad=True:表示这个张量是可训练的，当执行反向传播时，PyTorch会自动计算关于w的梯度，并在优化算法中更新这个张量。

1.5 定义模型

1
2
3
def linreg(X, w, b):  
    """线性回归模型。"""
    return torch.matmul(X, w) + b

1.6 定义损失函数

1
2
3
def squared_loss(y_hat, y):  #y_hat：预测值
    """均方损失。"""
    return (y_hat - y.reshape(y_hat.shape))**2 / 2

1.7 定义优化算法

1
2
3
4
5
6
def sgd(params, lr, batch_size):  #params（模型的可训练参数）、lr（学习率）和batch_size（批大小）
    """小批量随机梯度下降。"""
    with torch.no_grad():#上下文管理器，用于包裹在其内部的操作，告诉PyTorch在这个上下文中不要计算梯度
        for param in params:
            param -= lr * param.grad / batch_size#梯度乘以学习率，再除以批大小来更新参数
            param.grad.zero_()#将参数的梯度清零，在PyTorch中，梯度是累积的，需要手动将梯度置零

1.8 训练过程

1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
lr = 0.03
num_epochs = 3
net = linreg
loss = squared_loss

for epoch in range(num_epochs):
    for X, y in data_iter(batch_size, features, labels):
        l = loss(net(X, w, b), y)
        l.sum().backward()# l是向量，用sum转换成标量，再对损失进行反向传播，计算模型参数 w 和 b 的梯度。
        sgd([w, b], lr, batch_size)
    with torch.no_grad():
        train_l = loss(net(features, w, b), labels)
        print(f'epoch {epoch + 1}, loss {float(train_l.mean()):f}')

1.9 评估训练效果

1
2
print(f'w的估计误差: {true_w - w.reshape(true_w.shape)}')
print(f'b的估计误差: {true_b - b}')

2.线性回归的简洁实现

2.1 构造数据集

1
2
3
4
5
6
7
8
import numpy as np
import torch
from torch.utils import data
from d2l import torch as d2l

true_w = torch.tensor([2, -3.4])
true_b = 4.2
features, labels = d2l.synthetic_data(true_w, true_b, 1000)

2.2 构造一个PyTorch数据迭代器

1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
def load_array(data_arrays, batch_size, is_train=True):  
    """构造一个PyTorch数据迭代器。"""
    dataset = data.TensorDataset(*data_arrays)#用于将特征数据和标签数据打包成一个数据集对象
    return data.DataLoader(dataset, batch_size, shuffle=is_train)#从数据集中按照批大小 batch_size 加载数据
	#shuffle=is_train 表示在训练模式下（is_train=True）将数据打乱顺序

batch_size = 10
data_iter = load_array((features, labels), batch_size)

next(iter(data_iter))

2.3 构建模型

nn.Sequential：PyTorch中的一个容器类，它按照顺序组合各种神经网络的层。

nn.Linear(2, 1)：nn.Linear是一个全连接层（线性层），它接收两个参数：输入特征的数量（输入维度）和输出特征的数量（输出维度）。因此该层将实现一个将输入维度为2的数据映射为输出维度为1的线性变换（线性回归模型）。

1
2
3
4
5
6
7
8
9
from torch import nn

net = nn.Sequential(nn.Linear(2, 1))
#初始化模型参数
net[0].weight.data.normal_(0, 0.01)#net[0]表示模型中的第一个层
net[0].bias.data.fill_(0)

loss = nn.MSELoss()#定义损失函数
trainer = torch.optim.SGD(net.parameters(), lr=0.03)#实例化SGD实例

2.4 训练过程

1
2
3
4
5
6
7
8
9
num_epochs = 3
for epoch in range(num_epochs):
    for X, y in data_iter:
        l = loss(net(X), y)
        trainer.zero_grad()
        l.backward() #pytorch自动对l求sum，无需再求sum
        trainer.step()
    l = loss(net(features), labels)
    print(f'epoch {epoch + 1}, loss {l:f}')